Арифметические действия в позиционных системах счисления

Рассмотрим два основных арифметических действия: сложение и умножение в различных системах счисления.

Пятеричная система счисления

Сложение

Составим таблицу сложения для пятеричных цифр (будем использовать ее при сложении чисел в «столбик»).

0	1	2	3	4
1	2	3	4	10
2	3	4	10	11
3	4	10	11	12
4	10	11	12	13

Найдем 234₅ + 312₅. Складывать будем поразрядно в «столбик», используя таблицу сложения, аналогично десятичной системе счисления. Важно правильно записать числа друг под другом поразрядно (по позициям) справа налево.

Вычитание

Используя таблицу сложения можно также и вычитать числа в пятеричной системе счисления:

0	1	2	3	4
1	2	3	4	10
2	3	4	10	11
3	4	10	11	12
4	10	11	12	13

Найдем 203₅ – 34₅. Вычитать будем поразрядно в «столбик», используя таблицу сложения, аналогично десятичной системе счисления. Важно правильно записать числа друг под другом поразрядно (по позициям) справа налево.

Сложение и вычитание можно выполнять и не используя таблицу сложения.

Необходимо помнить:

при сложении чисел в пятеричной системе счисления, единицу в старший разряд мы переносим, когда в сумме получилось не 10, а 5!
при вычитании — в старшем разряде мы занимаем не 10, а 5 единиц.

Если выполнение операций сложения и вычитания поручить формальному исполнителю, например компьютеру, тогда необходимо хранить в его памяти таблицу сложения, т.е. 5*5=25 ячеек памяти будет занято под таблицу.

Умножение

Составим таблицу умножения для пятеричной системы счисления (цифру 0 не включаем, т.к. умножение на 0 всегда равно 0).

1	2	3	4
2	4	11	13
3	11	14	22
4	13	22	31

Найдем 13₅ * 24₅. Умножать будем в «столбик», используя таблицу умножения, аналогично десятичной системе счисления. Важно правильно записать числа друг под другом поразрядно (по позициям) справа налево.

Вывод:

Для выполнения арифметических операций в пятеричной системе счисления необходимо запомнить 25 правил сложения и 16 правил для умножения. .

Столько правил необходимо было бы «запомнить» компьютеру, если бы он работал в пятеричной системе счисления. Сравните с «нашей» десятичной системой счисления: 10*10 = 100 правил сложения и 9*9 = 81 правило умножения!

Двоичная система счисления

Составим таблицы сложения и умножения для двоичной системы счисления.

0	1
1	10

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
1 * 1 = 1

Вывод:

Для выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления необходимо запомнить всего 4 правила сложения и 1 правило умножения. .

Вот еще один аргумент за то, что вся информация в памяти компьютера храниться в двоичном коде (в виде 0 и 1).

Рассмотрим примеры сложения и вычитания в двоичной системе счисления.

Необходимо помнить:

при сложении чисел в двочной системе счисления, единицу в старший разряд мы переносим, когда в сумме получилось не 10, а 2!
при вычитании — в старшем разряде мы занимаем не 10, а 2 единицы.

–

-------------

Для начала операции вычитания нажмите кнопку «Начало».
Для вычитания цифр в позициях нажимайте кнопку «Действие».

«Занимаем»:

Троичная система счисления

Заполните самостоятельно таблицы сложения и умножения для троичной системы счисления.

Сложение

Умножение

Для закрепления материала Вам предлагается поработать на испытательных полигонах, где Вы сможете сами составить примеры на сложение и вычитание в раличных системах счисления (от двоичной до шестнадцатеричной) и управлять процессом вычисления.

Испытатель 1 ( сложение чисел в различных системах счисления ).

Испытатель 2 ( вычитание чисел в различных системах счисления ).