Системы счисления

Позиционные системы счисления

Определение В позиционной системе счисления величина, обозначаемая цифрой, зависит от позиции, в которой находится эта цифра.

Определение Количество используемых цифр называется основанием системы счисления.

В таблице показана связь между основанием системы счисления, ее названием и алфавитом.

Основание
(количество цифр) 		Система счисления Алфавит (все цифры)
10 десятичная 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
2 двоичная 0,1
3 троичная 0,1,2
5 пятеричная 0,1,2,3,4
8 восьмеричная 0,1,2,3,4,5,6,7
11 одиннадцатеричная 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A
13 тринадцатеричная 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C
16 шестнадцатеричная 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Обратите внимание на системы счисления с основанием большим 10.

Цифры, начиная с 10, обозначаются буквами латинского алфавита (10 – A, 11 – B, 12 – C и т.д.).
Это делается для того, чтобы не возникало путаницы между числом и цифрой.
Например, число 10 в шестнадцатеричной системе счисления 1016 = 16 палочек.
                  А цифра 10 — А = 10 палочек.

Чтобы показать, что число записано в системе счисления, отличной от десятичной, в которой все мы привыкли считать, основание системы счисления указывают в качестве нижнего индекса слева от числа (1001012, 2346, 3В16).

Основные достоинства любой позиционной системы счисления:

"Мысль выражать все числа немногими знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значения по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна."
Французский математик Пьер Симон Лаплас (1749-1827)

В повседневной жизни наиболее употребительна 10-ичная система счисления. И тем не менее великий французский математик Блез Паскаль писал:

"Десятичная система счисления построена довольно неразумно, конечно – в соответствии с людскими обычаями, а вовсе не с требованиями естественной необходимости, как склонно думать большинство людей".

Десятичная система счисления характеризуется тем, что в ней считают десятками:

В 2-ичной системе счисления считают двойками, в 5-ичной – пятерками, в 8-ой – восьмерками и т.д.

Куча монет Рассмотрим следующий пример. У нас имеется сколько-то монет, сложенных в кучу. Необходимо подсчитать и записать, сколько монет в куче в 10, 5 и 8-ичной системах счисления.

                           

Количество монет не изменилось, изменилась только форма записи числа.

Решим обратную задачу: переведем число 367 в десятичную систему счисления. Т.к. в 7-ичной системе счисления в кучку складываем по 7, то получится 3 кучки по 7 плюс 6: 367 = 3*7 + 6 = 21 + 6 = 28.
Рассуждая аналогично, 3612 = 3*12 + 6 = 36 + 6 = 42 (3 кучки по 12 плюс 6).

Чтобы проверить себя, насколько Вы хорошо поняли материал, ответьте на вопросы и выполните упражнения, предложенные в Зачетном классе 1.

[Основные понятия] [Оглавление] [Зачетный класс-1]